１、Reidemeister torsionの定義は、色々と経緯があることが分かった．驚くべきはB. Mazurさんのプレプリントを見るとMilnorのReidemeister torsionの解釈をめぐる論文が「数論トポロジー」へのヒントを提供していることです．他にに経緯を飛ばして、簡単に記述できないと思い、記載をやめました．２、A. Schwarzさんの論文の紹介は内容が重いので、当初から別記事にしようと考えていましたが、実際重く、手を付けれていません．解析的torsionが、ゲージ条件に依存しない分配函数（分配函数はそもそもゲージ条件に依存しないのですが）であることが、Riemann計量に依存しないことと同値なのだと思うのだが、うまく説明できないでいる．場の理論のゴースト場の話が関係するのだと思っている．
A. SchwarzさんのCommun. Math. Phys. 67, 1-16 (1979)の”The Partition Function of a Degenerate Functional”が、downloadできることが分かりました．このことを、内容に追加しました．Sep. 15 2012
19 Sep. 2012 夜間に偶然、東北大のサイトで次の記事を見つけました．『結び目と素数-数論的位相幾何学入門』森下先生の講義です．素晴らしい解説文だと思います．この最終章に、とても元気のでることが書いてあり、次々と妄想が広がりました．『類体論と電磁双対性』とタイトルで、今までの書籍やarxivにはない話が出てくる．Wilson作用素とその双対を考えると、強結合と弱結合の双対性と数論の平方剰余相互法則との対応ある書かれているのだと思う．ポアンカレ双対（結び目理論と読もう）とマックスウェル電気学（ゲージ理論と読もう）との間に、（可換）類体論がはさまってサンドイッチになっている．HeckeのLとArtinのLが等号になっている．間に挟まっている類体論の非可換版が結び目とゲージ理論から出てくると妄想する．これでは、Jones多項式に対応する類体論があるのだろうかとかいうことを妄想してしまう．Alexander多項式は、数論側の解釈はすでにありました．おそらく、これはここで問題している『解析的トーション』と関係があるであろう．Schwarzさんの1970年代の論文はまさに、解析的トーションをゲージ理論とを関連を追及し、初めての位相的場の理論の例を提示したと思うからです．なぜ場の理論と理解できるかの根本はFaddeev-Popovの考え方というのだから、ゴースト場の話と思っている．ここを掘ると少しは分かるのではないか、Chern－Simons理論がゲージ理論であることの根拠が分かるのではないかと思った次第です．
Reidemeister torsionの定義を入れて、タイトルから『暫定版』をはずしました．組み合わせ的に定義された（PLトポロジー的と解釈してよいのだと思うが）ものと、ホモトピー同値で定義する方法とがあります．一般にはWhiteheadの定義が本来の定義なのだと思うのです．レンズ空間の分類もホモトピー同値での分類が本来的であるので、この観点からは、Whiteheadの定義が本来の定義と言ってよいのだと思います．しかし、ここではホモロジー空間をベクトル空間として扱って定義しました．Milnerの定義を抽出したものとなっていますが、間違ってはいないと思います．このような定義をした上で、係数体を環に拡張すると、何と森下先生の教科書の定義に一致することに終わってから気付きました．やはりMilnerのR-torsion定義が、B. Mazurさんの突然復活したプレプリントを通して、『素数と結び目』の中に生きていることを実感しました．7. Oct 2012
解析的torsionについて（その２）を書こうとしているが、なかなか難渋しています．１、経路積分が収束しないということが、測度部分を多様体Mの体積として表すと発散する（数学的に定義できない）ので、これを克服する２、１のために、退化する二次汎函数に対して、これをcohomologyの函数として、Ray-Singer torsionへ持ち込み、作用素のkernelのゼロになるという部分が問題の個所であることなのではあるが、、、
この理解は少し方向を誤っているかもしれない．体積部分の計算は、（ゲージ固定条件からの独立）＝（計量の選択からの独立）であることを示すことにつかわれていて、無限次元での収束性は、ゼータ函数に依存しているように思われる．後半の部分は、Minakshisundaram-Pleijelのゼータ、Seeleyの結果、Ray-Singerの結果と密接に関係があり、ゼータ正規化として別途に項目を設けないといけないようだ．4 Nov. 2012
１、Reidemeister torsionの定義は、色々と経緯があることが分かった．驚くべきはB. Mazurさんのプレプリントを見るとMilnorのReidemeister torsionの解釈をめぐる論文が「数論トポロジー」へのヒントを提供していることです．他にに経緯を飛ばして、簡単に記述できないと思い、記載をやめました．
返信削除２、A. Schwarzさんの論文の紹介は内容が重いので、当初から別記事にしようと考えていましたが、実際重く、手を付けれていません．解析的torsionが、ゲージ条件に依存しない分配函数（分配函数はそもそもゲージ条件に依存しないのですが）であることが、Riemann計量に依存しないことと同値なのだと思うのだが、うまく説明できないでいる．場の理論のゴースト場の話が関係するのだと思っている．
A. SchwarzさんのCommun. Math. Phys. 67, 1-16 (1979)の”The Partition Function of a Degenerate Functional”が、downloadできることが分かりました．
返信削除このことを、内容に追加しました．
Sep. 15 2012
19 Sep. 2012 夜間に偶然、東北大のサイトで次の記事を見つけました．
返信削除『結び目と素数-数論的位相幾何学入門』森下先生の講義です．素晴らしい解説文だと思います．
この最終章に、とても元気のでることが書いてあり、次々と妄想が広がりました．
『類体論と電磁双対性』とタイトルで、今までの書籍やarxivにはない話が出てくる．Wilson作用素とその双対を考えると、強結合と弱結合の双対性と数論の平方剰余相互法則との対応ある書かれているのだと思う．
ポアンカレ双対（結び目理論と読もう）とマックスウェル電気学（ゲージ理論と読もう）との間に、（可換）類体論がはさまってサンドイッチになっている．HeckeのLとArtinのLが等号になっている．間に挟まっている類体論の非可換版が結び目とゲージ理論から出てくると妄想する．
これでは、Jones多項式に対応する類体論があるのだろうかとかいうことを妄想してしまう．Alexander多項式は、数論側の解釈はすでにありました．
おそらく、これはここで問題している『解析的トーション』と関係があるであろう．Schwarzさんの1970年代の論文はまさに、解析的トーションをゲージ理論とを関連を追及し、初めての位相的場の理論の例を提示したと思うからです．なぜ場の理論と理解できるかの根本はFaddeev-Popovの考え方というのだから、ゴースト場の話と思っている．ここを掘ると少しは分かるのではないか、Chern－Simons理論がゲージ理論であることの根拠が分かるのではないかと思った次第です．
Reidemeister torsionの定義を入れて、タイトルから『暫定版』をはずしました．
返信削除組み合わせ的に定義された（PLトポロジー的と解釈してよいのだと思うが）ものと、ホモトピー同値で定義する方法とがあります．一般にはWhiteheadの定義が本来の定義なのだと思うのです．レンズ空間の分類もホモトピー同値での分類が本来的であるので、この観点からは、Whiteheadの定義が本来の定義と言ってよいのだと思います．
しかし、ここではホモロジー空間をベクトル空間として扱って定義しました．Milnerの定義を抽出したものとなっていますが、間違ってはいないと思います．このような定義をした上で、係数体を環に拡張すると、何と森下先生の教科書の定義に一致することに終わってから気付きました．
やはりMilnerのR-torsion定義が、B. Mazurさんの突然復活したプレプリントを通して、『素数と結び目』の中に生きていることを実感しました．
7. Oct 2012
解析的torsionについて（その２）を書こうとしているが、なかなか難渋しています．
返信削除１、経路積分が収束しないということが、測度部分を多様体Mの体積として表すと発散する（数学的に定義できない）ので、これを克服する
２、１のために、退化する二次汎函数に対して、これをcohomologyの函数として、Ray-Singer torsionへ持ち込み、作用素のkernelのゼロになるという部分
が問題の個所であることなのではあるが、、、
この理解は少し方向を誤っているかもしれない．
削除体積部分の計算は、（ゲージ固定条件からの独立）＝（計量の選択からの独立）であることを示すことにつかわれていて、無限次元での収束性は、ゼータ函数に依存しているように思われる．
後半の部分は、Minakshisundaram-Pleijelのゼータ、Seeleyの結果、Ray-Singerの結果と密接に関係があり、ゼータ正規化として別途に項目を設けないといけないようだ．
4 Nov. 2012