2011年1月23日日曜日

非可換幾何学とRiemannゼータ(第0話)

Lieven le bruyn先生の「非可換幾何学とRiemannゼータ函数」の9つの一連のブログを日本語化して、掲載いたします。趣旨説明の中に項目を記載いたしました。(字下げした部分はLieven先生の原文へのリンクです)

第0話:「非可換幾何学とRiemannゼータ函数」趣旨説明

第1話:「Bost-Connes コセット空間」

  "the Bost-Connes coset space"

第2話:「Bost-Connes Hecke 環」

  "the Bost-Connes Hecke algebra"

第3話:「環理論研究者のためのBost-Connes 環」

  "Bost-Connes for ringtheorists"

第4話:「BCは双クリスタリン次数付き(Bi-Crystalline graded)のBC」

  BC stands for Bi-Crystalline graded

第5話:「アデールとイデール」

  "adeles and ideles"

第5.5話「局所と大域」について

第6話:「中国剰余定理とアデール環」

  "Chinese remainders and adele classes"

第7話:「アデール的なBost-Connes環のABC」

  "abc on adelic Bost-Connes"

第8話:「神が与えた時間」

  "God given time"

第9話:「KMS状態, Gibbs 状態とゼータ函数」

  KMS, Gibbs & zeta function

第10話「まとめ:参考書の紹介」

第0話、第5.5話、第10話はすべて私の記載ですので、元となる原文はありません。

2011年3月16日、改訂版への変更を、第0話から第10話までの各記事を一致させました。

なお、全部をつなげたものpdfファイル(36ページ)作成してあります。

『非可換幾何学とRiemannゼータ函数(改訂版)』

なお、諸事情でdownloadできない方、e-mailや、twitterのDMで連絡いただければ、メイルの添付あるいは文書郵送(当方負担)にて送付させていただきます。

5 件のコメント:

  1. 改訂版をupload完了しました。

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  2. arxiv:1101.3116 "Physics of the Riemann Hypothesis"は、タイトルのとおり、物理とRiemann予想の歴史を扱っています。

    次のような分け方になっている。

    I Introduction

    II Historical background and 'Mathematical necessities'

    III Connections to physics
    A. Classical mechanics
    B. Quantum mechanics
    1. Scattering state models
    2. Bound State models
    C. Nuclear physics
    D. Condensed matter physics
    E. Statistical physics

    IV Concluseion

    面白い分け方だと思います。

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  3. I think that the 8-th short story in this page is very important for the time reversal transformation.

    Although there are many debates about it in physics the time reversal is explicit as some phenomena. For example, Newton equation, General relativity, and Schr"odinger equation are invariant under the time reversal transformation.

    In number theory, the time reversal transformation is rather ambiguous. Many mathematician agree with the conjecture that says a certain kind of distribution of prime numbers or Riemann zeros would become GUE due to random matrix theory, which means the time reversal symmetry breaking. But this is not theorem but a only conjecture.

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  4. ある方から、e-mailで次の質問をいただきました。

    『黒川&小山先生のボストコンヌ理論の著書を眺めはじめたところです。対称性が自発的に破れた空間が絶対ガロア群であるとのことですが、標準モデルでは、対称性が破れると南部ゴールドストーン粒子が現れるとありますが、この辺はボストコンヌ理論ではどうなっているのでしょう?(ボストコンヌ理論は相転移に関するものなので、南部ゴールドストーン粒子のようなものは考えない?)』

    これに直ぐに回答がだせるようであれば、このシリーズはなかったと思われますねえ。

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  5. 7 Mar. 2014

    Connes & Marcolliを眺めていて、最もポイントとなる議論は、

    J.-B. Bost and A. Connes, Hecke Algebras, Type III factors and phase
    transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory, Se-
    lecta Mathematica, New Series 1, No.3 (1995), 411-457

    であり、この内容に対応している部分が、Connes & Marcolliでは、Chapter 3の

    4.5. Class field theory and the Kronecker–Weber theorem         p-470
    4.6. KMS states and class field theory                     p-474

    のような気がしてきた。BC-systemは、Kronecker-Weberの定理(Abelian Extension)の部分にある、確かにautomorphismは1次元である.

    BCのabstruct:

    In this paper, we construct a natural C^*-dynamical system whose partition function is the Riemann zeta function. Our constructin is general and associates to an inclusion of rings (under a suitable finiteniss assumption) an inclusion of discrete groups (the associated ax+b groups) and the corresponding Hecke algebras of bi-invariant finctions. The latter algebra is endowed with a canonical one parameter group of automoorphisms measureing the lack of normality of the subgroup. The inclusion of rings Z\subset Q provides the desired C^*-dynamical system, which admits the zeta function as partition function and the Galois gourp Gal(Q-{cycl}/Q) of the cyclotomic extension Q^{cycl} of Q as symmetry group. More over it exhibits a phse transision with spontaneous symmetry breaking at inverse temperature \beta=1. The original motivation for these results comes from the work of B.Julia.

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