English version none
日本語版のwikipediaの記事に『ホッジ予想』を登録しました．以下はすべて、英語版を日本語化したものです．
ホッジ予想
これに先立ち、Hodge予想に動機を与えた『ケーラー多様体』を登録しました．英語版の改善しました．
ケーラー多様体
『ホッジ構造』を登録しました．
ホッジ理論
さらに、『ホッジ予想』を登録後に、『ホッジ構造』を登録しました．
ホッジ構造
経緯や、どこを修正したのかということを記載した文書を公開しています．
Hodge予想の日本語化にあたり
なお、『解析的torsionについて』とも関連する内容です．
解析的torsionについて
本文の中に、３つの日本語版の具体的項目を上げて感謝しています．３つは他の方が作成されたものです．
返信削除１、「射影空間」、ケーラー多様体から引用させていただいてます．
２、「リッチテンソル」、この中にFubini-Study計量の前後を引用させていただいております．Ricci tensorの英語版の中からは一節まるごと日本語化しておりますが、日本語版のリッチテンソルとバッティングはしておりません．
３、「シンプレクティック幾何学」、全くwikipediaの日本語化の鏡のような文章ですので敬意を表しておりますので、先頭に持ってきております．ただ、斜交という日本語ではない単語（死語）と思います．シンプレクティックというカタカナが日本語ではないかと思っております．
英語版でKahler formがHermitian manifoldへREDIRECTされている．Kahler formは、Hermitian formが閉形式であるときのことを言うのだから、修正した．以前はHermitian manifoldにすべて説明があったのかもしれない．
返信削除本記事にもrevisionをいれました．
『ホッジ理論』を登録しました．p-adic Hodge theoryは含みません．Kahler多様体の場合は、『ケーラー多様体』の項目に含まれます．英語版にも少し変更を加えたいが、後日にします．
返信削除『ホッジ予想』を英語版の大半を日本語化して追記．
返信削除ABEL多様体の例は、Hodge予想が成立するという例が英語版にあるのであるが、鮮明でないので、日本語化はしませんでした．
やはり、簡単にアーベル多様体と虚数乗法との関係を説明するのは、困難であることに、原因があると思われます．英語版を修正する努力をしてみようとは思っています．日本語版化はそれから、、、
15 Feb 2013 にどなたか（アドレスはxx.xx.xx.xx）が、下記の書き込みを英語版の2つの記事に行っている．記事は
返信削除１、Kahler manifoldの定義の最後の部分
２、Hodge conjectureの動機の最後の部分
書き込みの内容は、下記の通り、
This is incorrect. Kahler manifold is not absolute, as proven in the Hodge conjecture when one cannot assume X is a Kahler manifold due to decomposition not being constant. Hp, q(X) is not a subgroup of cohomology classes being that (X is not a Kahler manifold) and cannot be represented by harmonic forms of (p, q).
しかし
１、Kahler manifoldの定義は、調和形式とは独立な話であり、指摘は該当しない．
２、Hodge conjectureの動機部分では、原著者が問題のパラグラフの先頭で言明しているように、Kahler多様体を前提にした話であり、Hodge予想がどのようなことに動機があり、何を意味しているかを明確にするためであるので、指摘は該当しない．
従って、数日中にこの書き込みを削除するつもりです．
いやいや、トーク欄に『数日後に削除するつもりだ』と書いたのだが、別の方が1時間後には『Hodge予想』の書き込みを削除していただいた．Kahler多様体の方も私が削除しました．
返信削除2 May 2013 やっと｢Hodge structure｣を日本語化しました．
返信削除英文版の文献を、どのparagraphがどのreferenceに対応するのかを明確にした以外に特に、内容的な改善は行っていません．その状態で日本語化しました．
改善方針は持っているので、英語版を改善してから、日本語版へ反映します．
16 May 2013 Voisinさんの講義ノートに、
返信削除"Hodge loci"というのがあって、Hodge予想と周期写像の関係について、教育的な立場で書かれた講義録があることを知りました．また、ここ2年間に書かれたようで、比較的新しいようです．
Wikipediaには英語版、日本語版双方に文献紹介しておきました．
URL:http://www.math.polytechnique.fr/~voisin/Articlesweb/hodgeloci.pdf
削除16 Apr. 2014
返信削除ホッジ予想とアーベル多様体の関係は、英語版から見直す必要があるように思う．アーベル多様体の場合、どの場合に予想が解けているのか良く分からない文章となっている．
テイト予想もアーベル多様体の場合にはある場合は解けているので、これも明らかになるようにする必要がありそうである．
19 Apr. 2014
返信削除Kahler多様体のヘッドラインの記述が、非常なる誤解を招くとの指摘をいただいています．なんとか、ヘッドラインを改善したい．
方針的には、Kahler多様体の性質を
１） Kahler potentialの存在
２） Levi-Civita接続が標準接続に一致する
という性質をもち、この性質からKahler多様体も決まる．
”小平埋め込み定理は、充分に大きな次元の射影空間へ埋め込むことができる”ことを言っている”でとどめる．
結果は、
削除－－－
ケーラー多様体は、複素構造、リーマン構造、シンプレクティック構造という３つが互いに整合性を持つ多様体である。
ケーラー多様体 X 上には、ケーラーポテンシャルが存在し、X 上の計量に対応するレヴィ・チヴィタ接続（英語版）(Levi-Civita connection)が、標準ラインバンドル上の接続を惹き起す。
小平埋め込み定理のおかげで、ケーラー多様体は充分大きな次元の複素射影空間へ双正則に埋め込まれる。複素射影代数多様体は、ケーラー多様体の重要な例である。
－－－
とのヘッドラインとしたが、
１、整合性の意味が不明確であるので、記事の中で説明するようにしないといけない．
２、Kahler potentialの存在と、標準接続にLevi-Civita接続が（定数倍を除き）一途するときには、これにより一意にKahler多様体が決定するという逆も言わないといけない．
３、非コンパクトなケーラー多様体の例
あたりを補足しないといけない