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David Boyd先生の記事について、少し注を加えます。代数、幾何、解析の数学の3つの分野を自由に駆け巡っている数論があります。第三回目は、すべて私の注です。Mahler測度の定義からJensen公式、Lehmer予想、Chinburg予想までの流れと、後半の双曲多様体の体積とBorelの定理、Bloch群について比重をかけました。
Mahler 測度、双曲幾何学と二重対数III（私のコメント）
注、このファイル小さいにもかかわらず、Googleビューワでは非常に重いです。お手数をかけますが、普通のpdfファイルですので、downloadして閲覧下さい。
第四回目は、Boyd先生の2005年の別の雑誌の短い文章を記事にすることを、予定しています。
2014年5月に、Banff Reseach Instituteで、
返信削除Quantum Curves and Quantum Knot Invariants
が開催される．内容はA-model側のGW理論のミラー双対であるB-model側の結び目多項式がA-多項式であり、これがEynard & Orantinのrecusionではないかということで、とてもエキサイティングな内容のようである．
もうひとつ、
返信削除Mahler予想と言われているものが、もうひとつあるらしい．ここで言っているのは、
The still-unsolved '''Mahler conjecture''' states that the minimum possible Mahler volume is attained by a hypercube．
の方の未解決予想であるが、超越数論では、
Kurt Mahler conjectured a particular transcendence result that is often referred to as Mahler's conjecture, though it was proved as a corollary of results by Yu. V. Nesternko and Patrice Phillipon in the 1990s. Mahler's conjecture was that the if τ was in the upper half plane then exp(2πiτ) and j(τ) were never both simultaneously algebraic. Stronger results are now known, for example if exp(2πiτ) is algebraic then the following three numbers are algebraically independent, and thus transcendental:
j(\tau), \frac{j^\prime(\tau)}{\pi}, \frac{j^{\prime\prime}(\tau)}{\pi^2}
という予想もある(現在は定理）．
It is known that the shapes with the largest possible Mahler volume are the spheres and ellipsoids; this is now known as the Blaschke–Santaló inequality. The still-unsolved Mahler conjecture states that the minimum possible Mahler volume is attained by a hypercube.
削除Mahler conjectureについて、T.TaoさんのBLOGに記載がある．
返信削除http://terrytao.wordpress.com/2007/03/08/open-problem-the-mahler-conjecture-on-convex-bodies/
Weeks manifold が最小体積の3次元の結び目補空間の双曲多様体であることは、2009年に証明されたのか！比較的新しいのか．
返信削除私のコメント、Humbertの公式-Bianchi群のことを追記しました．双曲空間とDedekindゼータ函数の関係がeisenstein級数を通して、証明される．
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