English version
最近、Lieven le Bryun先生がブログに、数論トポロジーの原点について書いておられます。現在も進行中です。数論トポロジーとは数論と3次元トポロジーの類似を徹底的に追及する世界のようで、近年多くの成果がでてきています。その原点について述べておられるので、非常に面白そうです。いづれは、他のトピックスと合わせて、日本語化しようと考えています。現在は、先生のブログにリンクを張っただけです。
数論トポロジーのエピソード（第一話） 私のオリジナル
Mumford先生の宝の描写（第二話）
Manin先生の幾何学的座標軸（第三話）
Mazur先生の結び目の辞書（第四話）
数論トポロジー貼られているリンク（番外）
Grothendieckの点の函手（第五話）
素数に結び付いた結び目とは何か？（第六話）
Alexander多項式についての注意（番外2）
素数＝結び目の類似の夢を見ているのは誰か？（第七話）
素数＝結び目の類似の誕生日（第八話）
Manin先生の『2000年における3つの世界』（第九話）
Alexander多項式の話題
【翻訳】Alexander多項式
全体を２つのグループに分けよう。第一グループは、
返信削除Mumford's treasure map
Manin's geometric axis
Mazur's knotty dictionary
Grothendieck's functor of points
で、第二グループは、
What is the knot associated to a prime?
Who dreamed up the primes=knots analogy?
まずは、第一グループを目標としよう
1月31日の『Manin先生の「2000年における3つの世界｣』のみ、日本語版作成しました。
返信削除Kapranovさんは、数論トポロジーの先駆者として名前が挙がっていて、文献としても、
返信削除M. Kapranov "Analogy between Langlands correspondense and topological quantum field thoery, Progress in Math., 131 Birkhauser, (1995), 119-151
が挙がっている．これには3次元多様体が表にはでてきていなく、カテゴリ論が中心であるが、第2章だけ異なるファクタがある。
第2章のタイトルは
Shimura varieties and Feynman integrals
というタイトルで、サブタイトルとして
reconstruction of the vector space data from the numerical data
とある．
ここで言いたいことは、TQFTの中で定義されるFeynman経路積分が、Langlands理論の標準的な方法である、志村多様体のcohomologyの研究が、その類似となっているという主張が書かれている．
Deligneによると志村多様体は、ある種類のparametrizeされたmotivesであり、これらのmotivesは適当なCMを持つAbel多様体の１次元cohomologyで与えられる．
この考え方をTQFTに導入するのだという．