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楕円曲線のレベルについてとタイトルをつけて、谷山志村予想と楕円曲線のことについて思い描いたことを書きました．栗原先生の講演を聞いたことが一番の動機です．『ゼータ函数の特殊値について』と題して書いた、私の最初のブログも栗原先生の『数論II』岩波がベースとなっていました．話題は、
一つ目が、何故、数論に登場する保型形式（Ramanujanの保型形式、Dedekindのeta函数の）ウェイトが12なのか？これとVirasoro代数の中心電荷は関係ないのかという疑問です．
二つ目は、講演に登場した楕円曲線のゼータ函数のs=1での値を求めるときに、積分表示の中でも、志村谷山予想が定理となったことが本質的に使われるということを書いています．
楕円曲線のレベルとウェイト
本記事を日本語表示不可を修正しました．
返信削除単純な問題はないようだが、ひとまず、クライアント側の見え方は、問題なさそうに思える．Google ChromeとFireFoxで確認している．
Google Viewerだけの問題ではなく、ほかにもまだまだ問題があるように思われます．
一つ目が、何故、数論に登場する保型形式（Ramanujanの保型形式、Dedekindのeta函数の）ウェイトが12なのか？これとVirasoro代数の中心電荷は関係ないのか？
返信削除という疑問は、下記のRamanujan-Perterssonの予想に同じであろう．
The Ramanujan conjecture, due to Srinivasa Ramanujan, states that Ramanujan's tau function given by the Fourier coefficients $\tau(n)$ of the cusp form $\Delta(z)$ of weight 12
\[ \Delta(z)=\sum_{n> 0}\tau(n)q^n=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24} = q-24q^2+252q^3+\cdots \]
(where $q'=e^{2π'iz'}$) satisfies
\[ |\tau(p)| \leq 2p^{11/2},\]
when $p$ is a prime number. The generalized Ramanujan conjecture or Ramanujan–Petersson conjecture, introduced by Hans Petersson, is a generalization to other modular forms or automorphic forms.
weight k=1 を例外として、他はDeligneが解決した．
削除しかし、cusp形式がMaass-wave formの場合は非解決．
一般化されたRamanujan予想
であるが、しかし物理的な理由があるのだと思う．
5 Jan. 2014
返信削除Wiltonの定理(1929)として、RamanujanのL-functionに対する函数等式が証明されたようだ（小山先生の本で見つけた、MordellによるRamanujan予想の(1)(2)の証明は、1917であるから、さらに12年遅いことにも少し驚き）。
\widehat{L}(s,\Delta)=(2\pi)^{-s}\Gamma(s)\L(s,\Delta)
とおくと
\widehat{L}(s,\Delta)=\widehat{L}(12-s,\Delta)
が成り立つ。しかし、これは保型形式のWeightが12と言っているだけであるが、ここから完全乗法性とRamanujan予想（Deligneの定理）が出てくる．