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シンプレクティック多様体の定義は、｢非退化な閉2-形式を持つ多様体｣という定義なのであるが、これは正しいのではあるが、何のことか分からない．この点を今年の1月にBen Websterさんが解析力学との関係より、導出するブログを提示している．これを日本語化してブログに掲載します．
Symplectic 多様体とは、一体何なのだろうか？
原文のURL：
What is a symplectic manifold, really?
Ben Websterさんは、英語版のwikipediaを｢Symplectic多様体｣の定義は、その上に非退化閉２－形式がある多様体というものであるという例として、引いている．
返信削除しかし、日本語版のwikipediaは、この定義と二次形式のことしか記載がない．
そのような多様体は、どこにあり、どのような｢形｣をしているのだろうか．研究の動機はなになのだろうかが記載されていない．これはどうしたことか．おそらく学部生や一般の人が方向性を決めたり、何だろうかというレベルの答えを期待して見に来るのであろうが、これでは本質を説明したことになっていないように思う．存在しないよりも圧倒的に良い状態であることに間違いはないのだけれども、
24 Mar 2013
返信削除本記事は、wikipediaの「シンプレクティック多様体」という記事に、修正を加えたところ、「著作権違反」とされたことに対し、修正しようとした動機を記載したものです．もう時効であろうから、ここに明らかにします．
本日、当該の記事の再編集を再開しました．
本ブログで日本語化しているBen Websterさんの記事がそのまま、Wikipediaの英語版には、「動機」として追加になっています．意図したわけではないのですが、とてもうれしく思いました。
Motivation
Symplectic manifolds arise from classical mechanics, in particular, they are a generalization of the phase space of a closed system. [1] In the same way the Hamilton equations allow one to derive the time evolution of a system from a set of differential equations, the symplectic form should allow one to obtain a vector field describing the flow of the system from the differential dH of a Hamiltonian function H. As Newton's equations of motion are linear differential equations, such a map should be linear as well.[2] So we require a linear map T* M → TM, or equivalently, an element of T* M ⊗ T* M. Letting ω denote a section of T* M ⊗ T* M, the requirement that ω be non-degenerate ensures that for every differential dH there is a unique corresponding vector field VH such that dH = ω(VH,· ). Since one desires the Hamiltonian to be constant along flow lines, one should have dH(VH) = ω(VH, VH) = 0, which implies that ω is alternating and hence a 2-form. Finally, one makes the requirement that ω should not change under flow lines, i.e. that the Lie derivative of ω along VH vanishes. Applying Cartan's formula, this amounts to
\mathcal{L}_{V_H}(\omega) = d\omega(V_H) = 0
which is equivalent to the requirement that ω should be closed.
該当の英語版の記事です．
上記の記事の中の[2]の資料は、
返信削除URLが
http://research.microsoft.com/en-us/um/people/cohn/thoughts/symplectic.html
で、タイトルは、
Why symplectic geometry is the natural setting for classical mechanics
というブログです．
上記のブログを日本語化しました
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