多変数複素函数について

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一松（信）先生の1960年に出版の『多変数複素函数論』をとんでもなく久しぶりに見て、その『あとがき』に記載されていたことを新鮮に思いましたので、感想を書きます．

多変数複素函数について

なお、内容は変更の可能性あります．

Diophantine 近似と代数幾何

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2014年8月9日と10日に、第１５回数理物理セミナ―で『Diophantine 近似と代数幾何』と言うタイトルで、

　１、代数幾何の基本的な要素としてDiophantine近似の問題があること

　２、数論でのeffectiveity（有効性）のこと

の話をさせていただきました．

Diophantine 近似と代数幾何

なお、説明用に表を英語版Wikipediaの素数定理にある表から借用しました．

π(x)とli(x)の表

超越数について

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2014年8月9日と10日に、第１５回数理物理セミナ―で『超越数について』と言うタイトルで、どうしたら代数的数と超越数を識別できるかという話をさせていただきました．

超越数について

類体論の周辺の話題

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2014年5月18日、第１４回数理物理セミナ―で『類体論の周辺の話題』と言うタイトルで、

　１、類体論の背景、Galois理論の基本定理、非abel的な例
　２、円分体、虚二次体、単数、類数公式
　３、虚数乗法、類体の構成
　４、谷山志村予想、
　５、p-進数における『高さ』

を話題にさせていただきました．

類体論の周辺の話題

2014年5月25日：下記を追加させていただきます．

類体論の周辺の話題の追加事項

再び小平次元について

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Wikipediaの記事『小平次元』の記事（英語版、日本語版の双方で）の中で、ある方より『ヘッドラインの部分の記述に誤りがある』との指摘をいただきました．確かに、小平次元の命名者が1965年に出版されたShafarevichさんたちの『代数曲面』のノートであるという記載になっていました．この点を修正いたしました．

指摘のあったShafarevichさんらの『代数曲面』と、Hartshorneさんの有名な代数幾何の教科書の記載がどのようになっているかを整理しました．


再び小平次元について

Wikipedia日本語版、数論関連の記事

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日本語版のWikipediaの中で数論に関連する記事(項目）を微力ながら、少し記載しました．数論は代数幾何学とは異なり、多くの項目がすでにありましたが、下記の観点から見直したものがあります．

なお、関連する項目は、下記に上げる日本語版を改訂、新規登録した代表的な記事からたどってください．

１、Ramanujan-Petersson予想（Ramanujan予想）：

ラマヌジャン・ピーターソン予想

関連する記事として、"Eisenstein series","real analytic Eisenstein series","Ramanujan's tau function","など、本件は英語側で苦労しました．

２、Weil予想：

ヴェイユ予想

DeligneがWeil予想を解明したことの結果として、１、のRamanujan-Petersson予想が解かれたことは有名．前の記事は、複素数体か実数体のような滑らかな多様体を前提としたような内容で違和感を覚えたので、書き換えました．有限体の上の代数多様体を考え、そこでの点の数の数え上げがこの問題の肝ではないかと思います．確かにヒントは、複素数体上のKahler多様体での類似定理の証明にあるにはあるのですが、、、．

26 May 2014：合わせて『合同ゼータ函数』も大きく書き換えました．

合同ゼータ函数

３、Kronecker青春の夢（Hilbertの第12問題）：

ヒルベルトの第12問題

ヒルベルトの第12問題は、有名な『クロネッカーの青春の夢(Kronecker's Jugendtraum)』です．前にあった記事はかなりトンデモな記事でした．だいぶ前に気付いていましたが、他のサイトの記事がトンデモにリンクをはっていて影響もあるので、思い切って更新しました．関連記事は、「虚数乗法」など、

４、ideal類群：

イデアル類群

日本語版にあってほしい項目をいくつか登録しました．たとえば、「クロネッカー・ウェーバーの定理」など、

５、楕円曲線：

ノート：楕円曲線

この記事は既設の日本語版を批判するものではないのですが、英語版がいくつかの点で優れているので、日本語化しました．ノート欄に登録してます．

本ページは予告なしで書き換えさせていただきます．

円の方法の心臓部である複素解析の説明

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Hardy-Liitlewoodの方法（円の方法）について追加説明で、『円の方法の心臓部である複素解析の説明』を掲載しました．

円の方法の心臓部である複素解析の説明

円の方法について

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双子素数とGoldbach予想についての続きで、『円の方法について』項目だけまとめました．昨年に進展のあった（検証中）の双子素数とGoldbach予想の進展で使われた手法は、Hardy-Liitlewoodの方法（円の方法）に最終的に依拠していると思われますので、円の方法についてまとめました．

円の方法について

なお、追加として：

・１：係数が何故Waring問題の解の個数をあらわすのか

・２：円の方法に現れる漸近解析の方法

のふたつは、後日とさせていただきます．なお、本記事は、予告なく変更する可能性があることを了承ください．

Lieven le BruynさんのBLOG”Manin's three-space-2000”の日本語化

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1984年に、Maninさんがワークショップで『三位一体説』(Manin's three-space-2000)を提示されています．このことをLievenさんがBLOGで紹介されています．LievenさんのBLOGを日本語化しました．最後に感想を一言、加えてます．

Manin's three-space-2000（三位一体説）

原文（Lieven le BruynさんのBLOG30 January 2012）のURLは：

Manin's three-space-2000

負の整数でのゼータ函数の帰納的な評価(L.MotlさんのBLOG）

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ゼータ函数の特殊値のことが、L.MotlさんのBLOGに掲載されています．Hurwitzゼータ函数を使い、興味深いことが記載されていますので、日本語化しました．

負の整数でのゼータ函数の帰納的な評価

原文（L.MotlさんのBLOGjanuary 21, 2014）のURLは：

A recursive evaluation of zeta of negative integers

Waringの問題について

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双子素数とGoldbach予想についての続きで、『Waringの問題について』項目だけまとめました．昨年に進展のあった（検証中）の双子素数とGoldbach予想の進展で使われた手法は、歴史的にはWaringの問題を解くことを目標として開発されてきた加法的整数論の方法のようです．Waringの問題の経緯を簡単にまとめました．Schnirelmann密度について追記しました．（あまり自分の思いは記載していません．なお、Hardy-Littlewoodは別の機会とさせてください．）

Waringの問題

21 Feb 2014:集合の和について補足させてください．

加法的和集合についての補足

数論の話題から

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一見、物理と関連がなさそうに思える数論の話題が増えてしまいました．これらをまとめて、メニュー化しました．

１、Terence Taoさんの講演の板書の日本語化、この講演は40分程度の短い講演でしたが、多くの深い話をされています．Green-Taoの定理は、題目くらいしか知らなく遠い存在とおもってましたが、非常に近いところにあることを実感しました．しかも深い内容を持っている．

Terence Taoさんの講演『素数の持つ構造とランダム性』

２、同じくTerence Taoさんのブログの日本語化

ZhangさんのLecture-I「曲線上の有理点オーバービュー」

ZhangさんのLecture-II「Gross-Zagier 公式とBSD予想」

ZhangさんのLecture-III「三重L-級数と有効Mordell予想」

３、志村谷山予想が証明されるときの興奮を伝えるDarmonさんの文章の日本語化

全志村-谷山予想の証明のアナウンス（その１）

全志村-谷山予想の証明のアナウンス（その２）

４、解析的整数論に関係した、2つの予想の簡単なまとめ

双子素数とGoldbach予想について

Waringの問題について

５、ABC予想の証明を望月先生が公表した後の私の文書．これはFermatの最終定理と同時にMordell予想などBSD予想へ連なる数々の予想にとっても重要なことではということを言いたかった文書．

ABC 予想と Fermat 予想、Mordell 予想

Terence Taoさんの講演『素数の持つ構造とランダム性』

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2007年のUCLAでのTerence Taoさんの一般向けの講演を、板書を日本語化しました．四則演算の知識しか仮定しない講演ですが、しかし、広い話題であり、直近のご自分の仕事まで話をされています．

素数の持つ構造とランダム性（日本語）

元の講演はyoutubeに公開されていて、URLは以下です．

Terence Tao: Structure and Randomness in the Prime Numbers

第十二回目数理物理セミナを行いました

2013年12月1日、数理物理セミナ第十二回目を行いました．テーマは、『フラクタル的素数モデル』と『代数幾何の面白さ（続）』です．

１、『有限個素数による自然数のフラクタル的モデルの構築とそのモデルでの素数の諸性質』　　小西さん
２、『代数幾何の面白さ（続）』　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　横山

１、の資料は整理中です．

　　　しかし、補足で『双子素数とGoldbach予想について』は、一般的な事柄ですので、公開します．
　　　双子素数とGoldbach予想について

２、の資料は、代数幾何の面白さ（続）

　　※『（続）』とは、2013年9月8日に、勉強会を非公式に行っています。このときの記事は．
　　数理物理セミナ勉強会（9/8）

双子素数とGoldbach予想について

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双子素数とGoldbach予想について、今年の春に進展があったようです．ご存知のように、この２つの伝統的な問題は現在、証明しようとの努力が続いていますが未証明です．経緯を簡単にまとめました．本資料は、数理物理セミナ（2013年12月1日）に使用したものです．

双子素数とGoldbach予想について

Schimmrigkさんの講義 III

Schimmrigkさんは、数論幾何をベースとして弦理論の研究をされておられますが、前の講義ノートを公開して以降、2年以上何もしていないので、2012年から2013年にかけてどのようなことをやられているのかを紹介したいと思います。

話題は２つあるようです。
　１、弦のモジュラ形式から、時空が出現すること---この点は、前の論文の内容ように思えます．
　２、余剰次元の探索のための保型ブラックホール---この点が新しい内容かもしれません．

１、の内容は、下記の論文の前半部分で、
Emergent spacetime and black hole probes from automorphic forms

２、の内容は、同じ論文の後半部分で、
Emergent spacetime and black hole probes from automorphic forms

ほかにエッセイが出ていて、２の話題を扱っています．
Black Hole Probes of Automorphic Space

ご存知のように、物理学というよりも数論幾何にみえます．

2+1次元重力と臨界CFT

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2+1次元重力の提起している問題が何か、再度、整理します．

０、1998年にStromingerさんが、ブラックホールのエントロピーとの関係で提案[1]されていることです．Brown-Henneaux[2]により1986年に提出されたAdS/CFTのさきがけとも言える理論があり（必ずしも(2+1)次元でなくとも成り立つ論理です）、負の宇宙定数をもつAdS空間とCFTが対応するということが言える．また同年にCardyは、Cardy公式（Cardy-Verlinde公式として一般化された）[3]と呼ばれる公式を発見し、Virasoro代数とAdS空間の対応を示しました。 １、Wittenさんの1988-1989年の『2+1次元位相重力はChern-Simons理論である』という議論がありました．これが位相的場の理論と結び目理論との結合を結びつけていて、さらには、BPS状態の数え上げということもこの議論の延長といえるのではないだとうか．1980年代の終わりに、[4][5]で確立されていく．

２、しかし、そのあとに2007年にWittenさんが、[6]でMoonshineとの関係を提起した．ここで重要なことは、ストリングを全く使わなくともAdS/CFTが登場することではないだろうか．このベースとしては、

　　　　☆　BTZブラックホールの発見(1992)
　　　　☆　AdS/CFT対応の発見(1997)

がある．これをめぐるブログを、

　　　　Wittenさんの2+1次元重力理論

　　　　Wittenさんの2+1次元重力理論(続)

　　　　（Wittenさんの）２＋１次元重力

に紹介しています．

３、Maloneyさんとの共著論文[7]をめぐって

この論文では、２のWitten論文を受けてのものであるが、共形場理論に対応する「相関函数が存在しない」ということをどのように解釈するかということを提起しているのだと思う．これをめぐるブログは、

　　　　（Maloneyさんの）２＋１次元重力

　　　　臨界共形場

に紹介しています．

４、そのあとにMathew群M24に関連する話題

本記事の内容は事前予告なしに書き変わり可能性があります．

【参考文献】

[1]、A. Strominger. Black Hole Entropy from Near-Horizon Microstates arXiv:hep-th/9712251

[2]、J. D. Brown and M. Henneaux. Central Charges in the Canonical Realization of Asymptotic Symmetries: An Example from Three-Dimensional Gravity. Commun. Math. Phys., 104:207–226, 1986.

[3]、J. L. Cardy. Oprator content of two-dimensional conformal invariant theory Nucl. Phys. B 270 186, 1986

[4]、A. Achúcarro and P. Townsend, "A Chern-Simons Action for Three-Dimensional anti-De Sitter Supergravity Theories", Phys. Lett. B180 (1986) 89

[5]、Witten, Edward (19 Dec 1988). "(2+1)-Dimensional Gravity as an Exactly Soluble System". Nuclear Physics B 311 (1): 46–78.

[6]、E. Witten, “Three-Dimensional Gravity Revisited,” arXiv:0706.3359 [hep-th].

[7]、A. Maloney and E. Witten, “Quantum Gravity Partition Functions in Three Dimensions,” arXiv:0712.0155 [hep-th].

昨年末に気がついた２点（その２）

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既に10ヶ月くらい経ってしまいましたが、昨年末に気づいたこと2点を掲載します．統計力学や物性の話題です．一つは松原函数のことであり、今一つはトポロジカル欠陥のことです．二つ目の話題について、すでに1970年代にホモトピーと位相欠陥の話が、凝縮系物性論で知られていたことに、驚いています．関連する話題のノートの一部で、日本語版Wikipediaに登録した内容の部分と、差し支えないと思われる一覧表だけ、前のものに追加して掲載します．

昨年末に気づいた２点（その２）

Wikipedia日本語版の代数幾何学の記事

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日本語版のWikipediaの中で代数幾何学に関連する記事(項目）があまりに少なく、『草も木も生えていなかった』状態でした．少しは項目を増やそうと考え、英語版のWikipediaの記事より、いくつか日本語化しました．時間がかかましたし、記事の粒は揃っていませんが、少しは『こけが少し生えた』のではと思っています．これらは有機的につながっているのですが、便宜的に下記のように分けさせていただきました．

なお、関連する項目は、下記に上げる日本語版の代表的な記事からたどってください．

１、代数多様体の分類理論：

小平次元

関連記事たくさんあります．例えば、『極小モデル』『飯高次元』『双有理幾何学』などなど、

2014年4月：『小平次元』という命名について、記事に事実と異なる記載があり、訂正いたしました．経緯については下記を参照願います．

再び小平次元について

２、代数幾何学の基本的理論：

アフィンスキーム

射影スキーム

これら2つは代数幾何に欠かせない考え方ですので、HartshorneやRed bookのほんのさわり程度にはまとめています．他には、『幾何学的不変式論』など、現在進行中です．

３、Riemann-Rochの定理：

リーマン・ロッホの定理

この定理なしでは代数幾何学が成立しないような重要な定理で、他に関連する記事は、『曲面のリーマン・ロッホの定理』『豊富なラインバンドル』『モジュライ空間』などなど

４、具体的な例、と基礎となっている理論：

代数曲線

基礎となっている理論としては、『代数曲面』『セール双対性』『GAGA (代数学)』『標準バンドル』『交点数 (代数幾何学)』『交叉理論』などなど

５、数理物理との関連：

ホモロジカルミラー対称性予想

これはミラー対称性との関連です。『数え上げ幾何学』『安定写像』『グロモフ・ウィッテン不変量』『量子コホモロジー』などなど

『ホモロジカルミラー対称性予想』（英語版は”予想”は入ってないがあえていれました）は、Hodge Diamondに注力した書き方をしているが、これは追記せねばならないと思っている．一つは、２次元のワールドシートの存在（シグマモデル）を意識した書き方をしないと本質をいったことにならないのではないかと思っている．二つは、一つ目と関連するが、Calabi-Yau/Landau-Ginzburg対応と呼ばれる対応について解明が進んでいるので、これについての概要を記載すべき、三つ目は幾何学的Langlandsのホモロジカルミラー対称性版があるからこれを紹介する必要があると思っている（これはS-双対へとつながっている）現在議論が進行しているものもあるが、記事化すべき段階ではないかと思っている．

他に、ミラー対称性 (弦理論)という記事があります．

ミラー対称性 (弦理論)

本ページは予告なしで書き換えさせていただきます。

Polchinskiさんのインタビュー記事（後半）

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ブラックホールのファイアウォールパラドックスについて、Polchinskiさんのインタビュー記事の日本語化の後半です。Polchinskiさんは、ブラックホールのFirewallパラドックスを提唱している立場です．少し古い記事ですが、今回はファイアウォールパラドックスの説明で、

・Hawkng輻射は純粋状態であること

・有効場理論(EFT)でHawkng輻射により情報が持ちだされること

・ブラックホールへ落ち込む観察者は地平線ではドラマは起きない

の3つを同時に満たすことはできないことを指摘しています。

Joe Polchinski on Black Holes, Complementarity, and Firewalls(後半）

原文は：Joe Polchinski on Black Holes, Complementarity, and Firewalls