2009年の春(?)夏(?)頃に書いたものです。何人かのひとにはお見せしたとは思いますが、何故ゼータ函数の特殊値に興味を持つのかについて記載したつもりです。後ろの部分は、丁寧に説明を付けていません。
「zeta函数の特殊値の不思議」
申し遅れましたが、数理物理にとても興味を持っています。計算機屋(システムソフト)を退役するので、この7,8年の間で聞きかじったことをまとめることにします。
内容は自分の理解しがたい難しいものから、簡単な上記のような数論の最初のところを面白いところだけ文字にしたにすぎないようなものまで公開することにします。根気が続く限り続けるつもりです。
質問は歓迎です。研究者や教授ではありませんので、答えれる保証はありませんが、精一杯お答えするつもりです。
2011年3/4に691がとても不思議だという議論をして、本記事をtwitterで紹介した。
返信削除本記事は今眺めてみると、いろいろのことかいてあるなあ。
未公開の記事の中で2/3/4月に公開しないでゴミ箱行きもかなりあったので、本記事が再先頭となった（公開したのは5/1にです）まあ、先頭の記事としてはこんなものか思った。
数学系はゴミ箱行きは物理よりも圧倒的におおいのだと記憶している。一度提示して引っ込めたものは、Langlands、Gukov、数論が圧倒的だなあ。翻訳ものは意外とゴミ箱へは行っていない。やはり自分で気に入らないと削除するところがあるのはあたりまえなのだと思う。
木村先生のtwitterの中に下記のものがあった。
返信削除例えば，類数1の虚2次体を決める問題とか．D. GoldfeldのBAMSの論説 http://dx.doi.org/10.1090%2FS0273-0979-1985-15352-2
9 Feb Favorite Undo Retweet Reply
ただ，2次体についての未解決問題であっても，ある性質を満たす（実or虚）2次体は何個あるでしょうか，有限でしょうか無限でしょうか，全部書き出せますか密度は求まりますか，という類の問題は，解決が2次体の理論の枠内に収まることはまず無い．
この記事は2011年の3月6日の夜にtwitterでtweetしたのに、翌日の24時間後に100アクセスを超えている。恐ろしいことです。何故かはわかりませんが。内容的には、今見直すと不満はあるものの、2010年4月当時は、ブログの方向性を示すための先頭のものとして考えたつもりの記事でした。
返信削除他の記事と比較すると、昨年末の「21世紀の調和振動子---ブラックホール」は、正月向けに準備したので5,6日はかかったはずです。
また、「非可換幾何とRiemannゼータ函数」もゆっくりと増えて大きなアクセス数となりました。
全く変更加えていないリバイバルで一気にということもあるのだということ、驚きました。Twitterの影響も大きいかもしれないが、内容的には、Riemannゼータ函数の特殊値が何故不思議なのかの説明にある程度はなっているのではと、考えています。
この記事に、Kronecker-Weberの定理について記載しなかった。「非可換幾何学とRiemannゼータ函数」の第５．５話の「局所と大域について」というタイトルのコメントに記載しました。
返信削除１、p10の脚注の中の「数論I」は岩波書店のものです。この部分で言いたいことは、類数公式にlogがなぜ出てくるのかということです。加藤先生の話を理解していると、おそらくわかる話なのでしょうけれども、この何故が理解できていません。「regulatorの中にlogがあるからとの理由は後付け、、、」ということが本脚注の趣旨。
返信削除『何故、数論にlogが出てくるのか』
２、Belinson予想、Kato-Bloch予想およびBSD予想については別途にすると言っておきつつも、何もしておりません。
３、（一般化された）Ramanujan予想とSelberg予想（1/4予想）は、Langlands対応の中で統一されてるのでしょうが、これも別途にすると言っておきつつも、何もしておりません。これは日本語の解説書はあまり見たことありませんが、佐竹先生の論文に端を発していることだけ申しておきます。
４、数理物理と数論の関連については、最後に
★Wittenさんのミステリアスな6次元とS-双対
★Schimmrigkさんの数論幾何学的な基礎をもった弦理論
について触れています。Wittenさんの方は、Langlands関係で少し私の文章の記事を提示しております。Schimmrigkさんの方は、各所で部分的に触れてますが、まとまった記事は未だに書いておりません。適当な一般向けの記事を作成したいと思っております。
既に掲載１年、元の記事を書いてから２年程度経ている現在、眺めてみるとそれなりに面白いまとまりをもっている記事だと、思いました（自画自賛ながら）。特に数論に興味のある人には注目してもらえそうな記事と思いました。これアクセス急増の理由と思っています。
18 July 2013
返信削除en.wiki "Special values of L-functions" にちょっと面白いこと書いてある．Leipnizの公式から、、、
20 July 2013
返信削除In mathematics, the study of special values of L-functions is a subfield of number theory devoted to generalising formulae such as the Leibniz formula for pi, namely
1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4},\!
by the recognition that expression on the left-hand side is also L(1) where L(s) is the Dirichlet L-function for the Gaussian field. This formula is a special case of the analytic class number formula, and in those terms reads that the Gaussian field has class number 1, and also contains four roots of unity, so accounting for the factor ¼.
23 Jan. 2014
返信削除L. MotlさんがBLOGにゼータ函数の特殊値について記載している．
21 Mar. 2014
返信削除類数が1の虚二次体（生成元が虚数の二次体）k = Q(−m)は、9個しかない-ことがわかっています．証明は1967年で、独立にBakerとStarkにより得られました。それほど古い話ではありません．（m = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163の場合のみ類数が 1 となる。m が大きくなるほどに類数が大きくなることは Siegel が証明しています．）
• 実二次体（実数を生成元とする二次体）k = Q(√m) では、類数が 1 である実二次体は無限個あるであろうことが既に Gauss により予想されていますが、現時点でも予想です（証明されていません）．
と書いたが、虚二次体の場合も微妙な問題があるようです．面白い問題です．
微妙なということは、
削除※１ Gaussが本来示していた予想のは、現在の代数体の判別式の考え方とは異なる考え方で臨んでいること
※２ 虚二次体の類数が 1 であるものは9個が最終的に確定してくる過程（Heegnerの提示、Bakerの定理、Starkの証明）は、複雑であること
を指しています．