2011年10月24日月曜日

ゼータ函数と統計力学(勉強会)II

English version
2011年10月23日、数理物理研究会の第二回目の勉強会、セミナを行いました。今回は第二回目です。HilbertとPolyaの提案が、数論と物理を紐づける原点だと思います。ほとんどが線型代数の復習です。

目次は

0、はじめに

1、素数の分布(Riemannゼータ)

2、数論と物理との合流の原点

3、様々なゼータ函数

4、統計力学とゼータ函数

App. (熱)統計力学の「お話」

ですので、今回は第二回目として、目次の2を掲載します。

ゼータ函数と統計力学II

4 件のコメント:

  1. 本文の雑談3の中で、数論Herald Bohrをドイツの数学者と書きましたが、有名なNiels Bohrの弟さんのようです。

    黒川、小山先生著、『リーマン予想の数理物理』の第一章、『ボーア兄弟の1913年、ゼータ函数と分配函数』のタイトルに書いてありました。

    失礼いたしました。後日訂正いたします。

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  2. Herald Bohrさん(数論の研究家)は、有名な物理学者Niels Bohrさんの弟さんです。本文に修正入れました。

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  3. Harald Bohr (1887-1951), "only mathematician to win an Olympic medal", applied analysis to number theory & died 22 Jan

    http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bohr_Harald.html

    published on "Mathhistory" in twitter

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  4. 初めて知る事実です、英語版Wikipediaの内容です。

    Farey数列はRiemann予想の2つの同値な定式化の中で使用されます.$F_n$が$\{a_{k,n}:k=0,1,\dots,m_n\}$として、$d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_n$と定義します.言い換えると、$d_{k,n}$はFarey数列の$k$番目の項と$n$番目の項の差異であり、一定の区間の上に等しく分布する点の同じ数の集合の$k$番目の数です.FranelとLandauは次の2つの事実を証明しました.任意の$r > 1/2$に対して、
    \[ \sum^{m_n}_{k=1} |d_{k,n}|=\mathcal{O}(n^r) \]
    であることと、任意の$r > -1$に対して
    \[ \sum^{m_n}_{k=1} d^2_{k,n}=\mathcal{O}(n^r) \]
    であることはRiemann予想と同値です。

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