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2011年10月23日、数理物理研究会の第二回目の勉強会、セミナを行いました。今回は第二回目です。HilbertとPolyaの提案が、数論と物理を紐づける原点だと思います。ほとんどが線型代数の復習です。
目次は
０、はじめに
１、素数の分布（Riemannゼータ）
２、数論と物理との合流の原点
３、様々なゼータ函数
４、統計力学とゼータ函数
App. （熱）統計力学の｢お話｣
ですので、今回は第二回目として、目次の２を掲載します。
ゼータ函数と統計力学II
本文の雑談３の中で、数論Herald Bohrをドイツの数学者と書きましたが、有名なNiels Bohrの弟さんのようです。
返信削除黒川、小山先生著、『リーマン予想の数理物理』の第一章、『ボーア兄弟の1913年、ゼータ函数と分配函数』のタイトルに書いてありました。
失礼いたしました。後日訂正いたします。
Herald Bohrさん（数論の研究家）は、有名な物理学者Niels Bohrさんの弟さんです。本文に修正入れました。
返信削除Harald Bohr (1887-1951), "only mathematician to win an Olympic medal", applied analysis to number theory & died 22 Jan
返信削除http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bohr_Harald.html
published on "Mathhistory" in twitter
初めて知る事実です、英語版Wikipediaの内容です。
返信削除Farey数列はRiemann予想の2つの同値な定式化の中で使用されます．$F_n$が$\{a_{k,n}:k=0,1,\dots,m_n\}$として、$d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_n$と定義します．言い換えると、$d_{k,n}$はFarey数列の$k$番目の項と$n$番目の項の差異であり、一定の区間の上に等しく分布する点の同じ数の集合の$k$番目の数です．FranelとLandauは次の2つの事実を証明しました．任意の$r > 1/2$に対して、
\[ \sum^{m_n}_{k=1} |d_{k,n}|=\mathcal{O}(n^r) \]
であることと、任意の$r > -1$に対して
\[ \sum^{m_n}_{k=1} d^2_{k,n}=\mathcal{O}(n^r) \]
であることはRiemann予想と同値です。